题目链接：Project Euler 427
如果一个数列 $\{s_{i}\}$ 的长度为 $n$ 且元素 $s_{i}$ 均为 $[1, n]$ 范围内的整数，那么该数列是「$n$ 数列」。显然有 $n^{n}$ 个不同的「$n$ 数列」。
对于任意的数列 $\{s_{i}\}$，定义 $L(s)$ 为最长的相同连续子序列的长度。
定义 $f(n)$ 为所有的「$n$ 数列」的 $L(s)$ 之和。
求 $f(7\ 500\ 000) \bmod (10^{9} + 9)$。
题目链接：Project Euler 745
定义 $g(n)$ 表示最大的能够整除 $n$ 的完全平方数。例如 $g(18) = 9, g(19) = 1$。
定义 $S(n) = \sum_{i = 1}^{n} g(i)$，求 $S(10^{14}) \bmod (10^{9} + 7)$
题目链接：XJOI 1739B
给出 $n$，求：
$$ \left(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \varphi(ij) d(jk) \mu(ki)\right) \bmod 998244353 $$
其中 $d(x)$ 表示 $x$ 的约数个数。
数据范围：$1 \le n \le 5 \cdot 10^4$。
题目链接：LOJ 2565
时光匆匆，转眼间又是一年省选季……
这是小 Q 同学第二次参加省队选拔赛。今年，小 Q 痛定思痛，不再冒险偷取试题，而是通过练习旧试题提升个人实力。可是旧试题太多了，小 Q 没日没夜地做题，却看不到前方的光明在哪里。
一天，因做题过度而疲惫入睡的小 Q 梦到自己在考场上遇到了一道好像做过的题目，却怎么也想不起曾经自己是怎么解决它的，直到醒来还心有余悸。
小 Q 眉头一皱，感觉事情不妙，于是他找到了你，希望你能教他解决这道题目。小 Q 依稀记得题目要计算如下表达式的值
$$ \left(\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} d(i j k) \right) \bmod (10^9 + 7) $$
其中 $d(i j k)$ 表示 $i\times j\times k$ 的约数个数。
数据范围：$1 \le T \le 10, 1 \le A, B, C \le 10^5, 1 \le \sum \max(A, B, C) \le 2 \cdot 10^5$。