「2019 Multi-University Training Contest 1」Function
本文为加强版题解。
给定正整数 $n$,请你求如下式子的值:
$$ \sum_{i = 1} ^ {n} \gcd(\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor,i) $$
答案对 $998244353$ 取模。
数据范围:$1 \le n \le 10 ^ {30}$。
本文为加强版题解。
给定正整数 $n$,请你求如下式子的值:
$$ \sum_{i = 1} ^ {n} \gcd(\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor,i) $$
答案对 $998244353$ 取模。
数据范围:$1 \le n \le 10 ^ {30}$。
题目链接:LOJ 2000
Doris 刚刚学习了 $\text{Fibnacci}$ 数列,用 $f[i]$ 表示数列的第 $i$ 项,那么:
$$ \begin{align*} f[0] &= 0 \\ f[1] &= 1 \\ f[n] &= f[n - 1] + f[n - 2], n \ge 2 \end{align*} $$
Doris 用老师的超级计算机生成了一个 $n \times m$ 的表格,第 $ i $ 行第 $ j $ 列的格子中的数是 $f[\gcd(i, j)]$,其中 $\gcd(i, j)$ 表示 $i$ 与 $j$ 的最大公约数。
Doris 的表格中共有 $ n \times m $ 个数,她想知道这些数的乘积是多少。
这些数的乘积实在是太大了,所以 Doris 只想知道乘积对 $10 ^ 9 + 7$ 取模后的结果。
本题有 $T$ 组数组。
数据范围:$1 \le T \le 1000$,$1 \le n, m \le 10 ^ 6$。
题目链接:LOJ 2095
我们知道,从区间 $[L, H]$($L$ 和 $H$ 为整数)中选取 $N$ 个整数,总共有 $(H - L + 1) ^ N$ 种方案。小 Z 很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的 $N$ 个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小 Z 会告诉你一个整数 $K$,你需要回答他最大公约数刚好为 $K$ 的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以 $10 ^ 9 + 7$ 的余数即可。
数据范围:$1 \le N, K \le 10 ^ 9$,$1 \le L \le H \le 10 ^ 9$,$H - L \le 10 ^ 5$。
题目链接:LOJ 6229
这是一道非常简单的数学题。
最近 LzyRapx 正在看 mathematics for computer science 这本书,在看到数论那一章的时候,LzyRapx 突然想到这样一个问题。
设
$$ F(n) = \sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 1} ^ i \frac{\operatorname{lcm}(i, j)}{\gcd(i, j)} $$
其中,$\operatorname{lcm}(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数,$\gcd(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。
给定 $n$ ,让你求: $F(n) \bmod (10 ^ 9 + 7)$。
数据范围:$1 \le n \le 10 ^ 9$。
题目链接:LOJ 2074
JSOI 的国境线上有 $N$ 座连续的山峰,其中第 $i$ 座的高度是 $h_i$。为了简单起见,我们认为这 $n$ 座山峰排成了连续一条直线。
如果在第 $i$ 座山峰上建立一座高度为 $p(p \ge 0)$ 的灯塔,JYY 发现,这座灯塔能够照亮第 $j$ 座山峰,当且仅当满足如下不等式:
$$ h_j \le h_i + p - \sqrt{\vert i − j\vert} $$
JSOI国王希望对于每一座山峰,JYY 都能提供建造一座能够照亮全部其他山峰的灯塔所需要的最小高度。你能帮助 JYY 么?
数据范围:$1< n\le 10 ^ 5$,$0< h_i \le 10 ^ 9$。