「Project Euler 745」Sum of Squares
题目链接:Project Euler 745
定义 $g(n)$ 表示最大的能够整除 $n$ 的完全平方数。例如 $g(18) = 9, g(19) = 1$。
定义 $S(n) = \sum_{i = 1}^{n} g(i)$,求 $S(10^{14}) \bmod (10^{9} + 7)$
题目链接:Project Euler 745
定义 $g(n)$ 表示最大的能够整除 $n$ 的完全平方数。例如 $g(18) = 9, g(19) = 1$。
定义 $S(n) = \sum_{i = 1}^{n} g(i)$,求 $S(10^{14}) \bmod (10^{9} + 7)$
题目链接:XJOI 1739B
给出 $n$,求:
$$ \left(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \varphi(ij) d(jk) \mu(ki)\right) \bmod 998244353 $$
其中 $d(x)$ 表示 $x$ 的约数个数。
数据范围:$1 \le n \le 5 \cdot 10^4$。
题目链接:LOJ 2565
时光匆匆,转眼间又是一年省选季……
这是小 Q 同学第二次参加省队选拔赛。今年,小 Q 痛定思痛,不再冒险偷取试题,而是通过练习旧试题提升个人实力。可是旧试题太多了,小 Q 没日没夜地做题,却看不到前方的光明在哪里。
一天,因做题过度而疲惫入睡的小 Q 梦到自己在考场上遇到了一道好像做过的题目,却怎么也想不起曾经自己是怎么解决它的,直到醒来还心有余悸。
小 Q 眉头一皱,感觉事情不妙,于是他找到了你,希望你能教他解决这道题目。小 Q 依稀记得题目要计算如下表达式的值
$$ \left(\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} d(i j k) \right) \bmod (10^9 + 7) $$
其中 $d(i j k)$ 表示 $i\times j\times k$ 的约数个数。
数据范围:$1 \le T \le 10, 1 \le A, B, C \le 10^5, 1 \le \sum \max(A, B, C) \le 2 \cdot 10^5$。
本文为加强版题解。
给定正整数 $n$,请你求如下式子的值:
$$ \sum_{i = 1} ^ {n} \gcd(\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor,i) $$
答案对 $998244353$ 取模。
数据范围:$1 \le n \le 10 ^ {30}$。
题目链接:SPOJ 16607
John 有 $n$ 个水果罐子,每个罐子都装有不同种类的糖果,第 $i$ 个罐子里有 $m_i$ 个糖果。John 决定吃一些糖果,并且打算至少吃 $a$ 个,至多吃 $b$ 个,求一共有多少种吃法。答案对 $2004$ 取模。
数据范围:$1 \le n \le 10$,$0 \le a \le b \le 10 ^ 7$,$0 \le m_i \le 10 ^ 7$。
题目链接:Codeforces 1186E
Vus 有一个 $n \times m$ 的 $01$ 矩阵,他通过如下方法构造了一个无限大的矩阵:
我们将列从上到下标号为 $1$ 到 $\infty$,将行从左到右标号为 $1$ 到 $\infty$。接下来进行 $q$ 次询问,每次询问子矩阵 $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ 的元素之和。
数据范围:$1 \le n, m \le 1000$,$1 \le q \le 10 ^ 5$,$1 \le x_1 \le x_2 \le 10 ^ 9$,$1 \le y_1 \le y_2 \le 10 ^ 9$。
题目链接:LOJ 2000
Doris 刚刚学习了 $\text{Fibnacci}$ 数列,用 $f[i]$ 表示数列的第 $i$ 项,那么:
$$ \begin{align*} f[0] &= 0 \\ f[1] &= 1 \\ f[n] &= f[n - 1] + f[n - 2], n \ge 2 \end{align*} $$
Doris 用老师的超级计算机生成了一个 $n \times m$ 的表格,第 $ i $ 行第 $ j $ 列的格子中的数是 $f[\gcd(i, j)]$,其中 $\gcd(i, j)$ 表示 $i$ 与 $j$ 的最大公约数。
Doris 的表格中共有 $ n \times m $ 个数,她想知道这些数的乘积是多少。
这些数的乘积实在是太大了,所以 Doris 只想知道乘积对 $10 ^ 9 + 7$ 取模后的结果。
本题有 $T$ 组数组。
数据范围:$1 \le T \le 1000$,$1 \le n, m \le 10 ^ 6$。
题目链接:LOJ 2095
我们知道,从区间 $[L, H]$($L$ 和 $H$ 为整数)中选取 $N$ 个整数,总共有 $(H - L + 1) ^ N$ 种方案。小 Z 很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的 $N$ 个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小 Z 会告诉你一个整数 $K$,你需要回答他最大公约数刚好为 $K$ 的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以 $10 ^ 9 + 7$ 的余数即可。
数据范围:$1 \le N, K \le 10 ^ 9$,$1 \le L \le H \le 10 ^ 9$,$H - L \le 10 ^ 5$。