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「2019 Multi-University Training Contest 1」Function
本文为加强版题解。
给定正整数 $n$，请你求如下式子的值：
$$ \sum_{i = 1} ^ {n} \gcd(\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor,i) $$
答案对 $998244353$ 取模。
数据范围：$1 \le n \le 10 ^ {30}$。
「SPOJ 16607」IE1 - Sweets
题目链接：SPOJ 16607
John 有 $n$ 个水果罐子，每个罐子都装有不同种类的糖果，第 $i$ 个罐子里有 $m_i$ 个糖果。John 决定吃一些糖果，并且打算至少吃 $a$ 个，至多吃 $b$ 个，求一共有多少种吃法。答案对 $2004$ 取模。
数据范围：$1 \le n \le 10$，$0 \le a \le b \le 10 ^ 7$，$0 \le m_i \le 10 ^ 7$。
「Codeforces 1186E」Vus the Cossack and a Field
题目链接：Codeforces 1186E
Vus 有一个 $n \times m$ 的 $01$ 矩阵，他通过如下方法构造了一个无限大的矩阵：
- 计算出当前矩阵的反矩阵。即 $0$ 变成 $1$，$1$ 变成 $0$。
- 将当前矩阵放在左上角和右下角，将反矩阵放在左下角和右上角。
- 将得到的矩阵作为当前矩阵，回到步骤 $1$ 并不断重复。
我们将列从上到下标号为 $1$ 到 $\infty$，将行从左到右标号为 $1$ 到 $\infty$。接下来进行 $q$ 次询问，每次询问子矩阵 $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ 的元素之和。
数据范围：$1 \le n, m \le 1000$，$1 \le q \le 10 ^ 5$，$1 \le x_1 \le x_2 \le 10 ^ 9$，$1 \le y_1 \le y_2 \le 10 ^ 9$。
「SDOI 2017」数字表格
题目链接：LOJ 2000
Doris 刚刚学习了 $\text{Fibnacci}$ 数列，用 $f[i]$ 表示数列的第 $i$ 项，那么：
$$ \begin{align*} f[0] &= 0 \\ f[1] &= 1 \\ f[n] &= f[n - 1] + f[n - 2], n \ge 2 \end{align*} $$
Doris 用老师的超级计算机生成了一个 $n \times m$ 的表格，第 $ i $ 行第 $ j $ 列的格子中的数是 $f[\gcd(i, j)]$，其中 $\gcd(i, j)$ 表示 $i$ 与 $j$ 的最大公约数。
Doris 的表格中共有 $ n \times m $ 个数，她想知道这些数的乘积是多少。
这些数的乘积实在是太大了，所以 Doris 只想知道乘积对 $10 ^ 9 + 7$ 取模后的结果。
本题有 $T$ 组数组。
数据范围：$1 \le T \le 1000$，$1 \le n, m \le 10 ^ 6$。
「CQOI 2015」选数
题目链接：LOJ 2095
我们知道，从区间 $[L, H]$（$L$ 和 $H$ 为整数）中选取 $N$ 个整数，总共有 $(H - L + 1) ^ N$ 种方案。小 Z 很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的 $N$ 个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小 Z 会告诉你一个整数 $K$，你需要回答他最大公约数刚好为 $K$ 的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以 $10 ^ 9 + 7$ 的余数即可。
数据范围：$1 \le N, K \le 10 ^ 9$，$1 \le L \le H \le 10 ^ 9$，$H - L \le 10 ^ 5$。
「LOJ 6229」这是一道简单的数学题
题目链接：LOJ 6229
这是一道非常简单的数学题。
最近 LzyRapx 正在看 mathematics for computer science 这本书，在看到数论那一章的时候，LzyRapx 突然想到这样一个问题。
设
$$ F(n) = \sum_{i = 1} ^ n \sum_{j = 1} ^ i \frac{\operatorname{lcm}(i, j)}{\gcd(i, j)} $$
其中，$\operatorname{lcm}(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数，$\gcd(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数。
给定 $n$ ，让你求： $F(n) \bmod (10 ^ 9 + 7)$。
数据范围：$1 \le n \le 10 ^ 9$。
「Codeforces 1139D」Steps to One
题目链接：Codeforces 1139D
Vivek 最初有一个空数组 $a$ 和一个整数 $m$。接下来他会进行如下操作：
- 随机选择一个 $1$ 到 $m$ 之间的整数 $x$ 并将它加入到数组 $a$ 的最后。
- 计算出数组 $a$ 中元素的最大公约数。
- 如果最大公约数等于 $1$ 那么退出操作。
- 否则回到步骤 $1$。
请你计算出数组 $a$ 的期望长度，对 $10 ^ 9 + 7$ 取模。
数据范围：$1\le m \le 10 ^ 5$。