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「Project Euler 745」Sum of Squares

题目链接：Project Euler 745

定义 $g(n)$ 表示最大的能够整除 $n$ 的完全平方数。例如 $g(18) = 9, g(19) = 1$。

定义 $S(n) = \sum_{i = 1}^{n} g(i)$，求 $S(10^{14}) \bmod (10^{9} + 7)$

「XJOI 1739B」松活弹抖闪电鞭

题目链接：XJOI 1739B

给出 $n$，求：

$$ \left(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \varphi(ij) d(jk) \mu(ki)\right) \bmod 998244353 $$

其中 $d(x)$ 表示 $x$ 的约数个数。

数据范围：$1 \le n \le 5 \cdot 10^4$。

「LOJ 2565」「SDOI 2018」旧试题

题目链接：LOJ 2565

时光匆匆，转眼间又是一年省选季……

这是小 Q 同学第二次参加省队选拔赛。今年，小 Q 痛定思痛，不再冒险偷取试题，而是通过练习旧试题提升个人实力。可是旧试题太多了，小 Q 没日没夜地做题，却看不到前方的光明在哪里。

一天，因做题过度而疲惫入睡的小 Q 梦到自己在考场上遇到了一道好像做过的题目，却怎么也想不起曾经自己是怎么解决它的，直到醒来还心有余悸。

小 Q 眉头一皱，感觉事情不妙，于是他找到了你，希望你能教他解决这道题目。小 Q 依稀记得题目要计算如下表达式的值

$$ \left(\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} d(i j k) \right) \bmod (10^9 + 7) $$

其中 $d(i j k)$ 表示 $i\times j\times k$ 的约数个数。

数据范围：$1 \le T \le 10, 1 \le A, B, C \le 10^5, 1 \le \sum \max(A, B, C) \le 2 \cdot 10^5$。

「Codeforces 1204 E」Natasha, Sasha and the Prefix Sums

题目链接：Codeforces 1204 E

「2019 Multi-University Training Contest 1」Function

题目链接：HDU 6588（加强版 LOJ 6686）

本文为加强版题解。

给定正整数 $n$，请你求如下式子的值：

$$ \sum_{i = 1} ^ {n} \gcd(\left\lfloor\sqrt[3]{i}\right\rfloor,i) $$

答案对 $998244353$ 取模。

数据范围：$1 \le n \le 10 ^ {30}$。

「SPOJ 16607」IE1 - Sweets

题目链接：SPOJ 16607

John 有 $n$ 个水果罐子，每个罐子都装有不同种类的糖果，第 $i$ 个罐子里有 $m_i$ 个糖果。John 决定吃一些糖果，并且打算至少吃 $a$ 个，至多吃 $b$ 个，求一共有多少种吃法。答案对 $2004$ 取模。

数据范围：$1 \le n \le 10$，$0 \le a \le b \le 10 ^ 7$，$0 \le m_i \le 10 ^ 7$。

「Codeforces 1186E」Vus the Cossack and a Field

题目链接：Codeforces 1186E

Vus 有一个 $n \times m$ 的 $01$ 矩阵，他通过如下方法构造了一个无限大的矩阵：

1. 计算出当前矩阵的反矩阵。即 $0$ 变成 $1$，$1$ 变成 $0$。
2. 将当前矩阵放在左上角和右下角，将反矩阵放在左下角和右上角。
3. 将得到的矩阵作为当前矩阵，回到步骤 $1$ 并不断重复。

我们将列从上到下标号为 $1$ 到 $\infty$，将行从左到右标号为 $1$ 到 $\infty$。接下来进行 $q$ 次询问，每次询问子矩阵 $(x_1, y_1, x_2, y_2)$ 的元素之和。

数据范围：$1 \le n, m \le 1000$，$1 \le q \le 10 ^ 5$，$1 \le x_1 \le x_2 \le 10 ^ 9$，$1 \le y_1 \le y_2 \le 10 ^ 9$。

「算法笔记」生成函数求数列通项公式

「SDOI 2017」数字表格

题目链接：LOJ 2000

Doris 刚刚学习了 $\text{Fibnacci}$ 数列，用 $f[i]$ 表示数列的第 $i$ 项，那么：

$$ \begin{align*} f[0] &= 0 \\ f[1] &= 1 \\ f[n] &= f[n - 1] + f[n - 2], n \ge 2 \end{align*} $$

Doris 用老师的超级计算机生成了一个 $n \times m$ 的表格，第 $ i $ 行第 $ j $ 列的格子中的数是 $f[\gcd(i, j)]$，其中 $\gcd(i, j)$ 表示 $i$ 与 $j$ 的最大公约数。

Doris 的表格中共有 $ n \times m $ 个数，她想知道这些数的乘积是多少。

这些数的乘积实在是太大了，所以 Doris 只想知道乘积对 $10 ^ 9 + 7$ 取模后的结果。

本题有 $T$ 组数组。

数据范围：$1 \le T \le 1000$，$1 \le n, m \le 10 ^ 6$。

「CQOI 2015」选数

题目链接：LOJ 2095

我们知道，从区间 $[L, H]$（$L$ 和 $H$ 为整数）中选取 $N$ 个整数，总共有 $(H - L + 1) ^ N$ 种方案。小 Z 很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的 $N$ 个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小 Z 会告诉你一个整数 $K$，你需要回答他最大公约数刚好为 $K$ 的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以 $10 ^ 9 + 7$ 的余数即可。

数据范围：$1 \le N, K \le 10 ^ 9​$，$1 \le L \le H \le 10 ^ 9​$，$H - L \le 10 ^ 5​$。